Logarithmic Decrement로 로터 시스템의 동적 안정성 한계를 평가하는 방법

진폭만 보고는 알 수 없는 것

회전기계의 진동 스펙트럼에서 회전 속도의 절반 이하 대역에 저주파 성분이 나타나면, 베어링이나 오일 필름에서 비롯되는 불안정 진동(흔히 말하는 오일 휩 계열의 현상)을 의심하게 됩니다. 하지만 스펙트럼의 진폭 크기만으로는 “이 진동이 앞으로 더 커질 것인가, 아니면 스스로 잦아들 것인가”를 판단할 수 없습니다. 같은 진폭이라도 어떤 조건에서는 시간이 지나며 자연히 감쇠되고, 어떤 조건에서는 걷잡을 수 없이 증폭됩니다. 그래서 진폭이 아니라 ‘이 진동이 감쇠되는 성질을 가지고 있는가’를 따지는데, 이때 쓰는 지표가 대수감소율(logarithmic decrement, log dec)입니다.

대수감소율을 계산하는 법

대수감소율 δ는 자유 진동에서 이웃한 두 봉우리 높이 비의 자연로그입니다. n번째 뒤 봉우리와 비교하면 δ = (1/n)·ln(x₀/xₙ)이고, 감쇠비 ζ와는 ζ = δ ÷ √(4π² + δ²)의 관계가 있습니다. 감쇠비가 대략 0.5를 넘으면 이 방법은 정확도가 떨어집니다.

①처럼 δ가 양수이면 봉우리가 갈수록 낮아집니다. 이웃한 봉우리 높이가 1.00에서 0.74로 줄었다면 δ = ln(1.00 ÷ 0.74) ≈ 0.30이고 감쇠비는 약 0.048입니다. δ가 0이면 ②처럼 같은 높이로 계속 흔들리고, 음수이면 ③처럼 오히려 커집니다. 대수감소율이 양수이면서 클수록 진동이 빠르게 사라지는 안정적인 상태이고, 0에 가까워지거나 음수로 넘어가면 외부에서 오히려 에너지를 공급받아 진동이 계속 커지는 불안정 상태라는 뜻입니다.

대수감소율을 얻는 두 가지 방법

첫째는 계산입니다. 실제 운전 조건(회전 속도, 부하, 베어링 온도)을 반영한 로터 동역학 모델로 회전수 구간별 대수감소율을 구하고, 안전 여유 기준선에 얼마나 가까운지 봅니다. 둘째는 실측입니다. 정지 상태나 저속 회전에서 임팩트 해머로 축에 충격을 주어 자유 진동 응답을 얻고, 위 그림처럼 봉우리 높이의 비로 대수감소율을 구합니다. 계산값을 실측과 대조해야 모델을 믿을 수 있습니다.

감쇠 여유를 키우는 방법

대수감소율 여유가 부족하면 감쇠 특성이 더 좋은 베어링(예: 틸팅 패드 저널 베어링)으로 바꾸는 방법이 쓰입니다. 바꾸기 전까지는 문제가 되는 저주파 대역을 실시간 감시 항목에 따로 넣어, 진폭이 커지는 조짐이 보이면 부하를 제한하는 방식으로 대응하기도 합니다.

정리

• 진동 진폭이 경보치 아래에 있다고 해서 안전하다는 뜻은 아닙니다. 그 진동이 시간에 따라 커지는 성질인지 줄어드는 성질인지가 실제 위험도를 결정합니다.
• 대수감소율 같은 안정성 지표는 계산만으로 끝내지 않고, 저속 충격 시험 등 실측으로 검증할 때 신뢰도가 확보됩니다.
• 베어링의 감쇠 특성은 로터 시스템 전체의 안정성 여유를 좌우하는 핵심 변수이므로, 설계 변경 시 최우선으로 검토해야 합니다.
• 하나의 지표만 보고 판단하기보다, 부하·온도 등 운전 조건 변화에 따른 추이를 함께 모니터링해야 갑작스러운 불안정 진입을 막을 수 있습니다.

대수감소율에 대한 질문

Q. 대수감소율이 음수가 되면 실제로 어떤 일이 벌어지나요?

A. 대수감소율이 음수라는 것은 진동 에너지가 시간에 따라 줄어드는 것이 아니라, 오히려 외부(오일 필름, 유체력 등)에서 에너지를 계속 공급받아 진폭이 커지고 있다는 뜻입니다. 이 상태로 넘어가면 진동이 짧은 시간 안에 통제 불능 수준으로 증폭되어 베어링 손상이나 축 파손 같은 심각한 사고로 이어질 수 있습니다.

Q. 소형 모터나 팬에도 이런 대수감소율 평가가 필요한가요?

A. 이론적으로는 회전하는 모든 시스템에 적용할 수 있지만, 구조가 단순하고 위험도가 낮은 소형 기계에는 비용과 시간 대비 실익이 크지 않아 잘 적용하지 않습니다. 실제로는 원심 압축기처럼 고속·고압으로 운전되며 사고 시 파급 효과가 큰 핵심 회전기계 위주로 이 평가를 수행합니다.

Q. 진동 트립 경보가 뜨지 않았는데도 이런 정밀 평가가 필요한 이유는 무엇인가요?

A. 트립 경보는 이미 진폭이 위험 수준에 도달했을 때 작동하는 마지막 안전장치입니다. 반면 대수감소율은 그 진폭이 앞으로 커질지 줄어들지를 미리 알려주는 지표이기 때문에, 경보가 울리기 전 단계에서 잠재적 위험을 선제적으로 파악하는 데 목적이 있습니다.

Q. 대수감소율은 어떤 센서와 방법으로 측정하나요?

A. 로터 축의 변위를 직접 측정하는 비접촉식 변위 센서와 베어링 하우징의 진동을 측정하는 가속도계가 주로 사용됩니다. 정지 또는 저속 상태에서는 임팩트 해머로 충격을 가해 자유 진동 응답을 얻고, 운전 중에는 이 센서들이 수집한 진동 신호에서 감쇠 특성을 추출하는 방식을 함께 사용합니다.

참고자료

• API Recommended Practice 684, “API Standard Paragraphs Rotordynamic Tutorial: Lateral Critical Speeds, Unbalance Response, Stability, Train Torsionals and Rotor Balancing.”
• Marscher, W., “Pump Rotordynamics Made Simple,” Turbomachinery Laboratory, Texas A&M University (rotorlab.tamu.edu).
• COMSOL Blog, “Predicting the Stability of Rotor Systems with the COMSOL Software.”
• Kanki, H. et al., “Experimental Rotordynamic Stability Evaluation Using Magnetic Excitation for High-Pressure Compressors,” Proceedings of ASME Turbo Expo (GT2011-45829).
• Wikipedia, Logarithmic decrement — 대수감소율 정의, 감쇠비와의 관계 ζ = δ ÷ √(4π² + δ²)